进制转换与数据编码

进制转换

R进制转十进制

R进制转十进制使用按权展开法，具体操作是将R进制的每一位数值使用$R^K$的形式表示，K表示该位与小数点的距离，当该位位于小数点左边，K表示该位和小数点之间间隔数字的个数，当该位位于小数点右侧，K是负数，其绝对值是该位与小数点之间数字个数加1

例如：
二进制 转 十进制 $$ 10100.01 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^{-2} $$
七进制 转 十进制 $$ 604.01 = 6\cdot7^2+4\cdot7^0+1\cdot7^{-2} $$

十进制转R进制

十进制转R进制使用短除法
例如将94转换成二进制数

94 ÷ 2 = 47 余 0
47 ÷ 2 = 23 余 1
23 ÷ 2 = 11 余 1
11 ÷ 2 = 5  余 1
5  ÷ 2 = 2  余 1
2  ÷ 2 = 1  余 0
1  ÷ 2 = 0  余 1  

将余数从后往前书写就是对应的二进制 1011110

二进制转八进制

二进制的 111 表示 八进制的 7，000表示八进制的0，二进制转换成八进制时，将二进制从低到高分为3个一组，高位不足三个的补0，分别进行转换
例如10001110转换成8进制为 216

010 001 110
2	1	6

二进制转十六进制

二进制的1111表示 十六进制的 15，0000表示十六进制的0，二进制转换成十六进制时，将二进制从低到高分为4个一组，高位不足三个的补0，分别进行转换，而在十六进制中10-15分别使用A-F进行表示
例如 1000 1110 转换成16进制为 8E

1000 1110
8     E

数据编码

原码

• 定义：

  • 最高位（最左边的一位）为符号位：0 表示正数，1 表示负数。
  • 其余位为数值位：表示这个数的绝对值的二进制形式。

• 示例：

  • +5 -> 0000 0101 （符号位0，数值是5）
  • -5 -> 1000 0101 （符号位1，数值是5）

• 优点：非常直观，容易理解。

• 缺点：

  • 存在 +0 和 -0：0000 0000 和 1000 0000 都表示0。这会造成歧义和计算上的麻烦。
  • 运算复杂：CPU的电路设计会变得复杂。例如，做加法时，必须先判断两个数的符号位。如果符号不同，实际上要做的是减法，并且还要判断结果的符号。这大大降低了计算效率。

    反码

• 定义：

  • 正数的反码：与其原码相同
  • 负数的反码：将其对应正数的原码按位取反（包括符号位，但结果依然是1表示负）。

• 示例：

  • +5 的原码是 0000 0101，所以它的反码也是 0000 0101
  • -5 的反码：先取 +5 的原码 0000 0101，然后所有位按位取反（0变1，1变0），得到 1111 1010

• 优点：引入反码后，减法可以用加法来实现。因为 X - Y 等价于 X + (-Y)

• 缺点：

  • 仍然存在 +0 和 -0**：

    • +0 的反码：0000 0000
    • -0 的反码：1111 1111

  • 计算循环进位：用反码进行运算时，如果最高位有进位，需要把这个进位“循环”加到结果的最低位（称为“循环进位”或“端回进位”），电路实现仍然不够优雅

    反码的核心贡献是：它首次实现了“将减法运算转换为加法运算”，从而简化了计算机内部运算器的设计。

    补码

• 定义：

  • 正数的补码：与其原码相同。
  • 负数的补码：将其对应正数的原码按位取反后，再加1

• 示例（8位）：

  • • +5 的补码：0000 0101 (和原码一样)
  • -5 的补码：
    1. 取 +5 的原码 0000 0101
    2. 按位取反得到 1111 1010 (这一步得到的是反码)
    3. 再加1，得到 1111 1011

• 核心优点：

  1. 唯一的0：0 的补码只有一种表示：0000 0000。计算 -0（即对 0000 0000 操作）：取反 1111 1111，加1后变成 (1)0000 0000，最高位1溢出，剩下 0000 0000，仍然是0。
  2. 无缝的加减法：可以将减法统一用加法来实现，不需要任何额外的判断和循环进位。CPU只需要设计一个加法器电路就可以同时处理加法和减法，极大地简化了硬件设计。
  3. 表示范围更合理：对于n位二进制，补码能表示的范围是 **[-2ⁿ⁻¹, 2ⁿ⁻¹ - 1]**。例如8位补码的范围是 -128 到 +127。比原码和反码的 -127 到 +127 多表示了一个数 (-128)。

     移码

• 定义：

  • 在补码的基础上，将符号位取反
    • 更通用的定义是：对一个数 X，将其加上一个固定的偏移值 Offset（通常是 2ⁿ⁻¹ 或 2ⁿ⁻¹ - 1），然后再用二进制表示。

• 示例（8位，偏移量 Offset = 127）

  • +5：其补码是 0000 0101。加上偏移量 127 后是 132，132 的二进制是 1000 0100。
  • -5：其补码是 1111 1011。加上偏移量 127 后是 122，122 的二进制是 0111 1010。
    (如果采用“符号位取反”法：+5的补码是0000 0101，符号位取反得1000 0101；-5的补码是1111 1011，符号位取反得0111 1011。这种方法的结果与标准移码定义通常差1，但比较大小的特性一致)

• 核心优点：
  便于比较：移码表示的所有数（正、负、零），其二进制的大小关系与它所代表的真值的大小关系是完全一致的。计算机可以直接用比较无符号整数的方式来比较移码的大小，速度极快。这对于浮点数运算中判断指数大小至关重要。

  数值表示范围

码制	定点整数	定点小数
原码	$-(2^{n-1}-1)$ ~ $(2^{n-1}-1)$	$-(1-2^{-(n-1)})$ ~ $(1-2^{-(n-1)})$
反码	$-(2^{n-1}-1)$ ~ $(2^{n-1}-1)$	$-(1-2^{-(n-1)})$ ~ $(1-2^{-(n-1)})$
补码	$-2^{n-1}$ ~ $(2^{n-1}-1)$	-1 ~ $(1-2^{-(n-1)})$
移码	$-2^{n-1}$ ~ $(2^{n-1}-1)$	-1 ~ $(1-2^{-(n-1)})$

浮点数的运算

浮点数表示

计算机中通常使用科学计数法的二进制实现，可以在固定长度的存储空间中表示极大范围、不同精度的实数。
浮点数表示：$N = 尾数 \cdot 基数 ^ {指数}$
例如 $3.14 \times 10^3$

• 尾数：3.14
• 基数：10
• 指数：3

  运算过程

例如 $3.14 \times 10^3 + 1.2 \times 10^5$

• 对阶，将两个数据的指数转换成相同的，小的往大的对
  • $0.0314 \times 10^5 + 1.2 \times 10^5$
• 尾数计算
  • $0.0314 + 1.2 = 1.2314$
• 结果格式化
  • $1.2314 \times 10^5$

    特点

1. 尾数用补码，阶码用移码
2. 阶码的位数决定数的表示范围，位数越多范围越大
3. 尾数的位数决定数的有效精度，位数越多精度越大
4. 对阶时，小数向大数看齐
5. 对阶是通过较小数的尾数右移实现的